СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

ПОНЯТИЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Все фантастические возможности вычислительной техники (ВТ) реализуются путем создания разнообразных комбинаций сигналов высокого и низкого уровней, которые условились называть «единицами» и «нулями».

Система счисления (СС) - это система записи чисел с помощью определенного набора цифр.

СС называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, которое определяется ее местом в числе. Десятичная СС является позиционной: 999.

Римская СС является непозиционной. Значение цифры Х в числе ХХІ остается неизменным при вариации ее положения в числе.

Количество различных цифр, употребляемых в позиционной СС, называется основанием СС. 

Развернутая форма числа - это запись, которая представляет собой сумму произведений цифр числа на значение позиций.

Например:         8527=8*10³+5*10²+2*10¹+7*10⁰

 Развернутая форма записи чисел произвольной системы счисления имеет вид

, где

X - число;

a - основа системы исчисления;

i - индекс;

m - количество разрядов числа дробной части;

n - количество разрядов числа целой части.

Например:   327.46      n=3,    m=2,   q=10

Если основание используемой СС больше десяти, то для цифр вводят условное обозначение со скобкой вверху или буквенное обозначение.

Например: если 10=А, а 11=В, то число 7А.5В12  можно расписать так:

7А.5В12 = В·12-2 + 5 ·2-1 +А ·120 + 7 ·121.

 В шестнадцатеричной СС основа - это цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 с соответствующими обозначениями 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,  B,  C, D,  E,  F. Примеры чисел: 17D.ECH,  F12AH.

 Двоичная СС -  это система, в которой для записи чисел используются две цифры 0 и 1. Основанием двоичной системы счисления является число 2.

Двоичный код числа - запись этого числа в двоичной системе счисления. Например,

0=0₂

1=1₂

2=10₂

3=11₂  

…

7=111₂

120=1111000₂.

В ВТ применяют позиционные СС с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную. Для обозначения используемой СС число снабжают верхним или нижним индексом, в котором записывают основание СС. Другой способ – использование латинских букв после записи числа: 

D – десятичная СС

В – двоичная СС

О – восьмеричная СС

Н – 16-ричная СС.

Несмотря на то, что 10-тичная СС имеет широкое распространение, цифровые ЭВМ строятся на двоичных элементах, т.к. реализовать элементы с 10 четко различимыми состояниями сложно. Историческое развитие ВТ сложилось таким образом, что ЭВМ строятся на базе двоичных цифровых устройств: триггеров, регистров, счетчиков, логических элементов и т.д.

16-ричная и 8-ричная СС используются при составлении программ на языке машинных кодов для более короткой и удобной записи двоичных кодов – команд, данных, адресов и операндов.

Задача перевода из одной СС в другую часто встречается при программировании, особенно, на языке Ассемблера. Например, при определении адреса ячейки памяти. Отдельные стандартные процедуры языков программирования Паскаль, Бейсик, Си, HTML требуют задания параметров в 16-ричной СС. Для непосредственного редактирования данных, записанных на жесткий диск, также необходимо умение работать с 16-ричными числами. Отыскать неисправность в ЭВМ невозможно без представлений о двоичной СС.

В таблице приведены некоторые числа, представленные в различных СС. 

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ПРОИЗВОЛЬНОЙ СС  В ДЕСЯТИЧНУЮ И ОБРАТНО

 Перевод чисел из произвольной системы в десятичную. Для перевода числа из любой позиционной СС в десятичную необходимо использовать развернутую форму числа, заменяя, если это необходимо, буквенные обозначения  соответствующими цифрами. Например:

1101₂=1*2³+1*2²+0*2¹+1*20=13₁₀
17D.ECH=12·16^-2 + 14·16^-1 +13·16⁰ + 7·16¹ + 1·16²=381.921875

 Перевод чисел из десятичной СС в заданную. 

1)      Для преобразования  целых чисел десятичной системы счисления в число любой системы счисления последовательно выполняют деление нацело на основание СС, пока не получат нуль. Числа, которые возникают как остаток от деления  на основание СС, представляют собой последовательную запись разрядов числа в выбранной СС от младшего разряда к старшему. Поэтому для записи  самого числа остатки от деления записывают в обратном порядке.

Например:

Читая остатки от деления снизу вверх, получим 101101.

Проверка:

1*2⁵+0*2⁴+1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰=  1+4+8+32=45₁₀.

2)      Для преобразования  десятичных дробей десятичной СС в число любой СС последовательно выполняют умножение на основание системы счисления, пока дробная часть произведения не станет равной нулю. Полученные целые части являются разрядами числа в новой системе, и их необходимо представлять цифрами этой новой системы счисления. Целые части в дальнейшем отбрасываются.

Например: перевести число 0.375₁₀  в двоичную СС.

                  0.375    →0

                        2

                 0.750     →0

                        2

                  1.50      →1

                  0.50

                       2

                  1.00      →1

Полученный результат - 0.011₂.

Необходимо отметить, что не каждое число может быть точно выражено в новой системе счисления, поэтому иногда вычисляют только требуемое количество разрядов дробной части, округляя последний разряд.

ПЕРЕВОД МЕЖДУ ОСНОВАНИЯМИ, СОСТАВЛЯЮЩИМИ СТЕПЕНЬ 2

Для того, чтобы из восьмеричной системы счисления перевести число в двоичный код, необходимо каждую цифру этого числа представить триадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются.

Например:

1234.7778 = 001 010 011 100.111 111 111₂ = 1 010 011 100.111 111 111₂
12345678 = 001 010 011 100 101 110 111₂ = 1 010 011 100 101 110 111₂

Обратный перевод: каждая триада двоичных цифр заменяется восьмеричной цифрой, при этом, если необходимо, число выравнивается путем дописывания нулей перед целой частью или после дробной. 

Например:

1100111₂ = 001 100 111₂ = 1478
11.1001₂ = 011.100 100₂ = 3.448
110.0111₂ = 110.011 100₂ = 6.348

При переводах между двоичной и шестнадцатеричной СС используются четверки цифр. При необходимости выравнивание выполняется до длины двоичного числа, кратной четырем.

Например:

1234.AB77₁₆ = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111₂ =
                            1 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111₂
CE4567₁₆ = 1100 1110 0100 0101 0110 0111₂
0.1234AA₁₆ = 0.0001 0010 0011 0100 1010 1010₂
1100111₂ = 0110 01112 = 67₁₆
11.1001₂ = 0011.10012 = 3.9₁₆
110.0111001₂ = 0110.0111 00102 = 65.72₁₆

При переходе из восьмеричного счисления в шестнадцатеричное счисление и обратно используется вспомогательный двоичный код числа.

Например:

1234567₈ = 001 010 011 100 101 110 111₂ = 0101 0011 1001 0111 01112 =
 = 53977₁₆

0.12034₈ = 0.001 010 000 011 100₂ = 0.0010 1000 0011 1000₂ = 0.2838₁₆

120.34₈ = 001 010 000. 011 100₂ = 0101 0000.0111 0000₂ = 50.7₁₆

1234.AB77₁₆ = 0001 0010 0011 0100.1010 1011 0111 0111₂ =
=  001 001 000 110 100.101 010 110 111 011 100₂ = 11064.526734₈

CE4567₁₆ = 1100 1110 0100 0101 0110 0111₂ =
= 110 011 100 100 010 101 100 111₂ = 63442547₈

0.1234AA₁₆ =0.0001 0010 0011 0100 1010 1010₂  =
= 0.000 100 100 011 010 010 101 010₂ =0.04432252₈

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ ЭВМ

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами сложения, вычитания и умножения. 

 Например:

     111                   1)1+1=10

 + 101                    2) 1+1=10

  1100                    3)1+1+1=11

     10001                1)1-1=0

  -     101                2) 0-0=0

      1100

Правило выполнения операции сложения одинаково для всех систем счисления: если сумма складываемых цифр больше или равна основанию системы счисления, происходит перенос единицы в следующий слева разряд.

При вычитании, если необходимо, делают заем. 

В ВТ с целью упрощения реализации арифметических операций применяют специальные коды: прямой, обратный, дополнительный. За счет этого облегчается определение знака результата операции, а операция вычитания чисел сводится к арифметическому сложению. В результате упрощаются устройства, выполняющие арифметические операции.            

Прямой код складывается из знакового разряда (старшего) и собственно числа. Знаковый разряд имеет значение

0 – для положительных чисел;

1 – для отрицательных чисел.

Например: прямой код для чисел –4 и 5:

  -4      4₁₀=100₂       1_100

  5      5₁₀=101₂      0_101

Обратный код образуется из прямого кода заменой нулей единицами, а единиц - нулями, кроме цифр знакового разряда. Для положительных чисел обратный код совпадает с прямым. Используется  как промежуточное звено для получения дополнительного кода.

Например:

   Прямой код           1_100                  1_101

   Обратный код       1_011                  1_010

Дополнительный код образуется из обратного кода добавлением 1 к младшему разряду.

Например:      найти дополнительный код  -7₁₀

            -7₁₀=111₂

Прямой код       1_111

Обратный код    1_000

Дополнительный код :1_001 (1_000+1)

Правило сложения двоичных чисел:

При алгебраическом сложении двоичных чисел с использованием дополнительного кода положительные слагаемые представляют в прямом коде, а отрицательные – в дополнительном коде. Затем производят суммирование этих кодов, включая знаковые разряды, которые при этом рассматриваются как старшие разряды. При возникновении переноса из знакового разряда единицу переноса отбрасывают. В результате получают алгебраическую сумму в прямом коде, если эта сумма положительная, и в дополнительном коде, если сумма отрицательная.

Например:     

1) найти разность  13-12

В двоичной системе

                                13=1101                  и          12=1100

Для                          13                                       -12

Прямой код               0_1101                                 1_1100

Обратный код                                                       1_0011

Дополнительный код                                             1_0100

Вычитание заменяем сложением:

          0_ 1101

        + 1_0100

          10_0001               , первую единицу отбрасываем и результат =0_0001.

 2) найти разность 8-13 

Для                              8                                   -13

Прямой код                0_1000                             1_1101

Обратный код